Задача 78588

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Решить в натуральных числах систему
   x + y = zt,
   z + t = xy.

Решение

  Рассмотрим два случая.
  1)  x = 1.  Тогда  z + t = y = zt – 1,  откуда  (z – 1)(t – 1) = zt – z – t + 1 = 2.  Следовательно,  {z, t} = {2, 3},  y = 6 – 1 = 5.
  2)  x, y, z, t > 1.  Тогда  (x – 1)(y – 1) ≥ 1,  то есть  xy ≥ x + y.  Аналогично  zt ≥ z + t.  Складывая, получаем  xy + zt ≥ x + y + z + t.  С другой стороны, складывая уравнения данной системы, получаем  xy + zt = x + y + z + t.  Следовательно, оба неравенства xy ≥ x + y  и  zt ≥ z + t  на самом деле есть равенства, то есть  x = y = z = t = 2.

Ответ

(1, 5, 2, 3),  (5, 1, 2, 3),  (1, 5, 3, 2),  (5, 1, 3, 2),  (2, 3, 1, 5),  (2, 3, 5, 1),  (3, 2, 1, 5),  (3, 2, 5, 1),  (2, 2, 2, 2).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	29
Год	1966
вариант
	1
Класс	9,10,11
Тур	1
задача
Номер	1
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.123