|
|
 |
Условие
В коридоре длиной 100 метров постелено 20 ковровых дорожек общей длины 1000 метров. Каково может быть наибольшее число незастеленных кусков (ширина дорожки равна ширине коридора)?Решение
Сначала приведём пример: возьмём одиннадцать длинных дорожек по 90.5 метров и остальные девять коротких дорожек по 0.5 метра. Положим одиннадцать длинных дорожек друг на друга, отступив от края коридора на 0.5 метра, а в оставшихся 9 метрах коридора первую половину оставим пустой, а вторую застелим короткой дорожкой. Таким образом, незастелено 9 кусков перед каждой короткой дорожкой и 1 перед длинными.Покажем, что большего количества незастеленных кусков достичь нельзя. Заметим сначала, что разность числа незастеленных кусков и числа застеленных кусков по модулю не превосходит единицы. Следовательно, достаточно доказать, что застеленных кусков не может быть больше десяти.
Для каждого застеленного куска найдём число ковровых дорожек, использованных
в этом куске. Обозначим максимальное из полученных чисел через $N$. Тогда число застеленных кусков не превосходит $1+(20-N)=21-N$.
Таким образом, осталось доказать, что $N \geq 11$. Докажем для этого, что найдётся точка, покрытая не менее, чем одиннадцатью дорожками. Допустим, что каждая точка покрыта не более, чем десятью дорожками. Так как общая длина дорожек ровно в десять раз больше длины коридора, то весь коридор покрыт, а значит,
незастеленных кусков нет, и этот случай нас не интересует. Итак, нашлась
точка, покрытая не менее, чем одиннадцатью дорожками. Следовательно,
в соответствующем застеленном куске использовано не менее одинадцати дорожек,
откуда $N \geq 11$.
