Задача 78667
|
|
 |
Условие
По заданной последовательности положительных чисел q1,..., qn, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
f0(x) = 1,
f1(x) = x,
...
fn+1(x) = (1 + qn)xfn(x) – qnfn–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и
1.
Решение
Докажем индукцией по n, что если |x| > 1, то | fn+1(x)| > |fn(x)|. При n = 0 это очевидно.
Шаг индукции. Если |x| > 1, то
| fn+1(x)| ≥ (1 + qn)|xfn(x)| – qn|fn–1(x)| > (1 + qn)| fn(x)| – qn|fn–1(x)| > | fn(x)|.
Таким образом, если |x| > 1, то | fn(x)| > 1, поэтому fn(x) ≠ 0.
