Условие
Двухсотзначное число
89252525...2525 умножено на число 444
x18
y27 (
x и
y — неизвестные цифры). Оказалось, что 53-я цифра полученного числа (считая справа) есть 1, а 54-я — 0. Найти
x и
y.
Решение
Ответ:
x=4,
y=6.
Пусть
A=89252525
...2525
,
B=444
x18
y27
.
Представим число
B в виде суммы
B=444
x00
y00
+18027
. Произведение
A· 18027
имеет вид
3
..272727272727268175
, в частности,
его
53
-я цифра равна
7
, а
54
-я равна
2
.
Пусть число
C· (
B-18027)
/4
записывается цифрами
111
abcdef .
Тогда
AB=A· 18027
+4
A· (
B-18027)
/4
=
3
..2727272727268175
+3
..1010101010100
· C .
Будем производить умножение и сложение 'в столбик'. Тогда
53
-я цифра в числе
AB будет равна
7
+1
+1
+b+d+f+x ,
где
x – число десятков, которые мы переносим из
52
-го разряда.
Цифра с номером
54
равна
2
+1
+a+c+e+y , где
y – число десятков, которые
мы переносим из
53
-го разряда.
Ясно, что
x
4
. Заметим, что
a,d
0
;1
;2
,
b,e
0
;2
;5
;7
,
c,f0
;5
, причем
b и
c не могут быть равны
5
одновременно.
Из этого получаем оценку
7
+1
+1
+b+d+f+x 7
+1
+1
+7
+2
+5
+4
=27
, откуда
y 2
.
Но по условию
53
-я цифра суммы равна
1
,
поэтому
y
1
.
Далее,
2
+1
+a+c+e+y 2
+1
+2
+5
+7
+2
=19
. Но последняя цифра этого числа равна нулю,
поэтому
2
+1
+a+c+e+y=10
. В частности, из
54
-го разряда в
55
-й мы переносим ровно
1
десятков. Но из вида наших слагаемых следует, что из
54
-го разряда в
55
-й
мы переносим столько же десятков, сколько из
52
-го в
53
-й. Следовательно,
x=1
. Получаем, что должна выполняться совокупность двух систем уравнений:
либо
2
+1
+a+c+e+2
=10
,7
+1
+1
+b+d+f+1
=21
(1), либо
2
+1
+a+c+e+1
=10
,7
+1
+1
+b+d+f+1
=11
(2).
Поскольку каждая из цифр
a,b,c,d,e,f может принимать небольшое число значений,
несложным перебором находим единственное решение
abcdef=100150
(учитываем,
что цифры
bc,ef
05
,55
).
Ответ
x=4,
y=6.
Источники и прецеденты использования
