Задача 78798

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные проекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x₁, x₂, ..., x_n, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Решение

Проведём через центр O правильного многоугольника A₁...A_n прямую l, не проходящую через его вершины. Пусть x_i равно проекции вектора на прямую, перпендикулярную l. Тогда все x_i отличны от нуля. Сумма чисел x_i, стоящих в вершинах правильного k-угольника, равна нулю, поскольку равна нулю соответствующая сумма векторов (см.задачу 55373 а)..

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.065
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	5