Условие
Две одинаковые шестерёнки имеют по 32 зубца. Их совместили и спилили
одновременно 6 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть
относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки
окажутся целые зубцы второй шестерёнки.
Решение
Обозначим через
n число спиленных пар зубцов (в нашем случае
n = 6). Тогда у каждой шестерёнки
n2 -
n + 2 зубцов (в нашем случае 32). Всего существует
n2 −
n + 1 таких поворотов верхней шестерёнки относительно нижней, при которых все зубцы обеих шестерёнок оказываются совмещёнными. Назовём дыркой то место шестерёнки, где отсутствует зубец. Рассмотрим произвольную дырку нижней шестерёнки. При
n − 1 положениях верхней шестерёнки (кроме исходного) над этой дыркой оказывается дырка верхней шестерёнки. Но дырок на нижней шестерёнке
n, поэтому из
n2 −
n + 1 поворотов верхней шестерёнки только при не более, чем
n(
n − 1) из них наблюдаются
совпадения дырок обеих шестерёнок. Поскольку (
n2 −
n + 1) −
n(
n − 1) = 1, найдётся такой поворот верхней шестерёнки, когда совпадения дырок не будет. Этот поворот искомый.
Источники и прецеденты использования
