Задача 79295

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиуса 1 см. Разрешается точку A отразить симметрично относительно произвольной прямой, пересекающей круг; полученную точку отразить симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг, и т.д. Доказать, что: а) за 25 отражений точку A можно переместить внутрь круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

Решение

Пусть O — центр данного круга, D_R — круг радиуса R с центром O. Докажем, что множеством образов точек D_R при симметриях относительно прямых, проходящих через D₁, является круг D_{R + 2}. В самом деле, образы точки O при указанных симметриях заполняют круг D₂, а круги радиуса R с центрами в D₂ заполняют круг D_{R + 2}. Поэтому за n отражений из точек D₁ можно получить любую точку из D_{2n + 1} и только эти точки. Остаётся заметить, что точку A можно переместить внутрь D_R за n отражений тогда и только тогда, когда за n отражений можно перевести некоторую точку из D_R в A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	38
Год	1975
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	2