|
|
 |
Условие
Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?
Решение
Докажем, что для любого натурального n ≥ 2 существуют n натуральных чисел, сумма любых двух из которых делится на их разность.
Для n = 2 можно взять числа 1 и 2. Пусть числа a1, ..., an удовлетворяют требуемому условию. Покажем, что тогда числа A, A + a1, ..., A + an, где
A = a1...an, тоже удовлетворяют требуемому условию. Ясно, что A + ak + A делится на A + ak − A = ak, поскольку A делится на ak. Проверим, что
A + ai + A + aj делится на A + ai − (A + aj) = ai − aj. По условию ai + aj делится на ai − aj. Кроме того, 2ai = (ai + aj) + (ai − aj) делится на ai − aj, а значит, 2A делится на ai − aj.
Ответ
Существуют.
Замечания
В 9 кл. предлагались пп. а) и в), в 10 кл. – п. б).
