Условие
Существует ли пятиугольник со сторонами 3, 4, 9, 11 и 13 см, в который можно
вписать окружность?
Решение
Ответ: не существует. Докажем это. Предположим, что такой пятиугольник
ABCDE существует. Без ограничения общности можно считать, что
|
AB| = 3. Пусть
A1 — точка касания вписанной окружности и стороны
AB. Точки
B1,
C1,
D1 и
E1 определяются аналогично. Из равенства длин
касательных следует, что 2|
AA1| = |
AB| + |
EA| + |
CD| − |
BC| − |
DE| и
2|
A1B| = |
AB| + |
BC| + |
DE| − |
CD| − |
AE|. Обозначив
x = |
EA| + |
CD| − |
BC| − |
DE|, получим 2|
AA1| = |
AB| +
x, 2|
A1B| = |
AB| −
x. Так как |
AA1| > 0 и |
A1B| > 0, то
3 = |
AB| > |
x|. С другой стороны, если числа
|
EA|, |
CD|, |
BC|, |
DE| равны 4, 9, 11, 13 в каком-то порядке, то |
x| не может быть меньше трёх. Следовательно, такого пятиугольника не существует.
Источники и прецеденты использования
