Условие
Биссектриса угла
A треугольника
ABC продолжена до пересечения в
D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что
AD > 1/2 (
AB +
AC).
Решение
Введём обозначения:
AB =
a,
AC =
b,
AD =
l,
C = α,
B = β,
d — диаметр описанной вокруг треугольника
ABC окружности. По теореме синусов длина хорды равна произведению диаметра окружности на синус половины дуги, на которую эта хорда опирается. Поскольку
AB = 2α,
AC = 2β,
AD = π − α + β, то
a =
d sin α,
b =
d sin β,
l =
d sin
=
d cos
.
Из неравенства
d cos
>
(
d sin α +
d sin β)
и следует требуемое утверждение. (Разность между левой и правой частями последнего неравенства равна
d(sin (α/2)- cos (β/2))(sin (β/2) - cos (α/2)) > 0.)
Источники и прецеденты использования
