Условие
В пространстве имеются четыре различные прямые, окрашенные в два цвета: две
красные и две синие, причём любая красная прямая перпендикулярна любой синей
прямой. Докажите, что либо красные, либо синие прямые параллельны.
Решение
Фиксируем в пространстве точку
O и проведём прямые
OA и
OB, параллельные
красным прямым и прямые
OC и
OD, параллельные синим прямым. Если красные
прямые не параллельны, то прямые
OA и
OB различны. Так как прямая
OC
перпендикулярна прямым
OA и
OB, то она перпендикулярна плоскости
OAB.
Аналогично получаем, что прямая
OD перпендикулярна этой плоскости.
Следовательно, в силу единственности перпендикуляра к плоскости, прямые
OC и
OD совпадают, а значит, синие прямые параллельны.
Источники и прецеденты использования
