Информация о задаче

Задача 79617

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.

Решение

Пусть α, β, γ, δ — углы четырёхугольника. Тогда

0 = cos α + cos β + cos γ + cos δ = 2 cos $\displaystyle {\frac{\alpha+\beta}{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\alpha-\beta}{2}}$ + 2 cos $\displaystyle {\frac{\gamma+\delta}{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma-\delta}{2}}$ .

Так как α + β + γ + δ = 2π, то cos ${\frac{\alpha+\beta}{2}}$ = − cos ${\frac{\gamma+\delta}{2}}$ . Следовательно,

$\begin{multline*} 0=\cos\frac{\alpha+\beta}2\left(\cos\frac{\alpha-\beta}2-\cos... ...lpha+\beta}2\cos\frac{\alpha+\gamma}2\cos\frac{\alpha+\delta}2. \end{multline*}$

Следовательно,

Следовательно, сумма каких-то двух углов четырёхугольника равна π. Если это два соседних угла, то данный четырёхугольник — трапеция или параллелограмм, а если это два противоположных угла, то данный четырёхугольники вписанный.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	55
Год	1992
вариант
Класс	10
задача
Номер	1