Условие
От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный
кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны;
от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д.
В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?
Решение
Ответ: свечку можно воткнуть в одну из точек многоугольника (включая
границу), закрашенного на рисунке. Будем решать задачу для произвольного многоугольника. Пусть
A0A1...
An - 1 — данный многоугольник,
An =
A0,
A−1 =
An−1. Свечку, воткнутую во внутреннюю точку одного из треугольников
Ai−1AiAi + 1 (
i = 0, 1, ...,
n − 1) или в точку на границе многоугольника
A0A1...
An−1, можно отрезать за один разрез. Заметим, что при каждом отрезании треугольного куска множество точек многоугольника, содержащихся в треугольниках вида
Ai - 1AiAi + 1, не
увеличивается (см. рисунок). Следовательно, никакую другую точку
многоугольника отрезать нельзя.
Ответ
свечку можно воткнуть в одну из точек многоугольника (включая
границу), закрашенного на рисунке.
Источники и прецеденты использования
