Задача 85241

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные проекции ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите следующие равенства:

а)   

б)   

в)   

Решение 1

а) См. в).

б)

Следовательно, выражение в скобках равно –1.

в)

Решение 2

Возьмём правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса 1 с центром в начале координат O. Повернём его так, чтобы одна его вершина попала в точку  (1, 0).  Сумма векторов, идущих из точки O в вершины этого n-угольника, равна нулю (см. задачу 55373 а). Рассмотрев суммы проекций этих векторов на оси x и y, получим равенства а) и б). Если же этот n-угольник повернуть на угол α,
то получим равенство в).

Решение 3

   Положим      Тогда   
   Сумма а) – это мнимая часть найденной суммы, а сумма б) – ее действительная часть минус единица (это следует из формулы Муавра). Сумма в) – мнимая часть суммы   w(1 + z + z² + ... + z^n–1),   где   w = cos α + i sin α.

Замечания

1. Аналогично доказывается, что    .

2. Ср. с задачей 61123.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Название	Задачи по алгебре, арифметике и анализу
Издательство	МЦНМО
Издание	1
Год издания	готовится к печати
глава
Номер	11
	Тригонометрия
параграф
Номер	4
Название	Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками
задача
Номер	19