Задача 86118

Темы:    [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Условие

Авторы: Ященко И.В., Голенищева-Кутузова Т.И.

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{	sin x+a=bx
	cos x=b

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Решение

По условию функция y = sin x + a - b x обращается в нуль ровно в двух точках x₁ и x₂, x₁ < x₂.
Эти точки разбивают числовую ось на 3 промежутка (-∞, x₁], (x₁, x₂], (x₂, +∞). Поскольку b ≠ 0, а |sin x| ≤ 1, то на промежутках (-∞, x₁) и (x₂, +∞) функция имеет разные знаки. Поэтому на некоторых двух соседних промежутках (-∞, x₁), (x₁, x₂) или (x₁, x₂), (x₂, +∞) функция имеет одинаковые знаки, а тогда либо точка x₁, либо точка x₂ является точкой экстремума и производная в ней y' = (sin x + a - b x)' =
= cos x - b обращается в нуль.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	68
Год	2005
вариант
Класс	11, вариант А
задача
Номер	1