Задача 86910

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите угол между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра.

Ответ

arccos или arccos .

Пусть ABCD – правильный тетраэдр со стороной a . Найдём угол α между медианой CK грани ABC и медианой AM грани ABD (рис.1). Для этого соединим середину K ребра AB с серединой N отрезка BM . Тогда KN || AM , поэтому α = CKN . Из прямоугольного треугольника CMN находим, что

CN2 = CM2+MN2 = ()2+ ()2 = a2.
Из треугольника CKN по теореме косинусов находим, что
cos α = cos CKN = = = .
Теперь найдём угол β между медианой CK грани ABC и медианой BL грани BCD (рис.2). Для этого соединим середину L ребра CD с серединой P медианы DK треугольника ABD . Тогда LP || CK , поэтому β = BLP . Из прямоугольного треугольника BKP находим, что
BP2 = KP2+BK2 = ()2+ ()2 = a2.
Из треугольника BLP по теореме косинусов находим, что
cos β = cos BLP = = = .
Этим исчерпыватся все возможные случаи.

Пусть ABCD – правильный тетраэдр со стороной a . Найдём угол α между медианой CK грани ABC и медианой AM грани ABD (рис.3). Для этого ортогонально спроецируем тетраэдр на плоскость, проходящую через прямую AB , перпендикулярно плоскости ABC . Пусть D' и M' – проекции точек соответственно D и M . Тогда, если угол между прямыми AM и CK равен α , то угол между прямой AM и плоскостью проекциий, т.е. угол MAM' равен 90^o-α . Пусть M" – проекция точки M' на прямую AB , а O – центр грани ABC . Тогда
AM" = AB = a, M'M" = D'K = DO = a.
Из прямоугольного треугольника AM'M" находим, что
AM' = = =.
Значит,
sin α = cos (90^o-α) = cos MAM'== = .
Следовательно,
cos α = .
Теперь найдём угол β между медианой CK грани ABC и медианой BL грани BCD (рис.4). Для этого также спроецируем тетраэдр на плоскость AD'B . Пусть L' – проекция точки L . если угол между прямыми BL и CK равен β , то угол между прямой BL и плоскостью проекций, т.е. угол LBL' равен 90^o-β . Из прямоугольного треугольника KBL' находим, что
BL' = = = =.

sin β = cos (90^o-β) = cos LBL'== = .
Следовательно,
cos α = .
Этим исчерпыватся все возможные случаи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7086