Информация о задаче

Задача 87008

Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Центр масс	]
	[	Параллелепипеды (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что диагональ AC₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ проходит через точки пересечения медиан треугольников A₁BD и CB₁D₁ и делится ими на три равные части.

Решение

Первый способ.

Пусть O и O₁ - точки пересечения диагоналей оснований ABCD и A₁B₁C₁D₁, P - точка пересечения отрезков AC₁ и A₁O (лежащих в плоскости AA₁C₁C), Q - отрезков AC₁ и CO₁. Тогда A₁O - медиана треугольника A₁BD, CO₁ - медиана треугольника CB₁D₁.

Из подобия треугольников AOP и C₁A₁P следует, что

OP/A₁P = AO/C₁A₁ = AO/AC = 1/2.

Следовательно, P - точка пересечения медиан треугольника A₁BD. Кроме того, AP/PC₁ = AO/C₁A₁ = 1/2, т.е. AP = ${\frac{1}{3}}$ AC₁.

Аналогично докажем, что Q - точка пересечения медиан треугольника CB₁D₁ и C₁Q = ${\frac{1}{3}}$ AC₁. Следовательно,

AP = C₁Q = PQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ AC₁,

что и требовалось доказать.

Второй способ.

Приведем решение с помощью векторов. Воспользуемся следующим известным фактом. Если M - точка пересечения медиан треугольника XYZ, а T - произвольная точка пространства, то

$\displaystyle \overline{TM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overline{TX}$ + $\displaystyle \overline{TY}$ + $\displaystyle \overline{TZ}$ ).

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника BDA₁. Тогда

$\displaystyle \overline{AM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overline{AB}$ + $\displaystyle \overline{AD}$ + $\displaystyle \overline{AA_{1}}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \overline{AC_{1}}$ .

Поэтому векторы $\overline{AM}$ и $\overline{AC_{1}}$ коллинеарны. Следовательно, точка M лежит на прямой AC₁ и AP = ${\frac{1}{3}}$ AC₁. Аналогично для треугольника CB₁D₁.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7212