Информация о задаче

Задача 87010

Темы:	[	Элементы пирамиды (прочее)	]
	[	Объем призмы	]
	[	Правильный тетраэдр	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите объем параллелепипеда, все грани которого - равные ромбы со стороной, равной a, и острым углом 60^o.

Подсказка

Пусть ребро AA₁ данного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ образует угол в 60^o с ребрами AB и AD. Тогда треугольная пирамида A₁ABD - правильный тетраэдр с ребром, равным a.

Решение

Пусть ребро AA₁ данного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ образует угол в 60^o с ребрами AB и AD. Поскольку AA₁B, AA₁D и ABD - равносторонние треугольники, треугольная пирамида A₁ABD - правильный тетраэдр с ребром, равным a. Его высоту AO находим из прямоугольного треугольника AOA₁ :

A₁O = $\displaystyle \sqrt{AA ^{2} - AO^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{a^{2} - (a\sqrt{3}/3)^{2}}$ = a $\displaystyle \sqrt{2/3}$ .

Поскольку A₁O - высота данного параллелепипеда,

V(ABCDA₁B₁C₁D₁) = S(ABCD)^.A₁O = (a² $\displaystyle \sqrt{3}$ /2)^.a $\displaystyle \sqrt{2/3}$ = a² $\displaystyle \sqrt{2}$ /2.

Ответ

a² $\displaystyle \sqrt{2}$ /2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7214