Условие
На скрещивающихся прямых
l и
m взяты отрезки
AB и
CD
соответственно. Докажите, что объём пирамиды
ABCD не зависит от
положения отрезков
AB и
CD на этих прямых. Найдите этот объём, если
AB = a ,
CD = b , а угол и расстояние между прямыми
l и
m равны
соответственно
α и
c .
Решение
Достроим тетраэдр
ABCD до параллелепипеда, проведя через его
противоположные рёбра
AB и
CD ,
AD и
BC ,
AC и
BD пары
параллельных плоскостей. Высота параллелепипеда равна расстоянию между
параллельными плоскостями, одна из которых содержит прямую
AB , а
вторая – прямую
CD , т.е. равна расстоянию
c между скрещивающимися
прямыми
l и
m . Диагонали грани параллелепипеда, содержащей ребро
AB
тетраэдра
ABCD , равны
a и
b , а угол между ними равен углу между
прямыми
l и
m , т.е.
α . Тогда площадь этой грани равна
ab sin α , а объём
V1
параллелепипеда равен произведению
площади этой грани на высоту, т.е.
V1
= abc sin α .
Объём
V тетраэдра
ABCD равен трети объёма параллелепипеда, следовательно,
V = 
V1 = · abc sin α
= 
abc sin α.
Ответ
abc sin α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7234 |
