Задача 87030

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Объем (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан правильный тетраэдр с ребром a . Найдите объём многогранника, полученного в пересечении этого тетраэдра со своим образом при симметрии относительно середины высоты.

Решение

Пусть SABC – данный правильный тетраэдр; O – середина его высоты SS1 ; A1 , B1 , C1 –- точки, симметричные точкам соответственно A , B , C относительно точки O . Тогда S1A1B1C1 – образ тетраэдра SABC при симметрии относительно точки O . Образ K1 середины K ребра BC при рассматриваемой симметрии – середина ребра B1C1 . Поскольку A1K1 || AK , прямые A1K1 и AK лежат в одной плоскости. Поэтому прямые A1S1 и KS пересекаются, причём точка P их пересечения является точкой пересечения ребра A1S1 тетраэдра S1A1B1C1 с плоскостью грани SBC тетраэдра SABC . Из подобия треугольников KS1P и SA1P находим, что

= = = = , = ,
т.е. точка P делит апофему SK тетраэдра SABC и ребро A1S1 тетраэдра S1A1B1C1 в отношении . Аналогично находим остальные пять точек пересечения боковых рёбер каждого из этих тетраэдров с плоскостями боковых граней другого. Таким образом, мы построили шесть вершин многогранника пересечения. Еще две его вершины – точки S и S1 . Пусть Q и F – вершины искомого многогранника, лежащие на рёбрах SC и SB соответственно. Тогда = = . Поэтому SQ = SF = . Если через точку P провести прямую, параллельную BC , то в отсеченном этой прямой от SBC треугольнике PQ и PF будут средними линиями. Поэтому QP || SF и FP || SQ . Следовательно, четырёхугольник SQPF – параллелограмм, а т.к. SF = SQ , то это ромб со стороной . Острый угол ромба равен 60^o . Аналогично докажем, что остальные пять граней искомого многогранника – ромбы со стороной и острым углом 60^o . Следовательно, это параллелепипед. Объём такого параллелепипеда равен
= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7242