Задача 87260

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед с основаниями ABCD , A1B1C1D1 и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , причём ABCD – квадрат со стороной a , вершина B1 равноудалена от вершин A , B , C и D , а расстояние от вершины B1 до плоскости основания ABCD равно b . Поскольку точка B1 равноудалена от вершин квадрата ABCD , она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD , проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC , проходит через её середину M . По теореме о трёх перпендикулярах B1M BC , поэтому B1M – высота грани BB1C1C . Из прямоугольного треугольника B1OM находим, что

B1M = = .
Значит,
S_AA1D1D = S_BB1C1C = BC· B1M = a.
Аналогично,
S_AA1B1B = S_DD1C1C = a.
Если S – полная поверхность параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , то
S = 2a2 + 4a = 2a(a + ).

Ответ

2a(a + ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7731