Задача 87276

Темы:    [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На диагоналях AB1 и BC1 граней параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки M и N , причём отрезки MN и A1C параллельны. Найдите отношение этих отрезков.

Решение

Рассмотрим сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершины A , D1 , B1 и плоскостью, проходящей через вершины B , D , C1 . Поскольку пересекающиеся прямые AB1 и AD1 первой плоскости соответственно параллельны пересекающимся прямым DC1 и BC1 второй плоскости, эти плоскости параллельны. Концы отрезка MN расположены в этих плоскостях. Известно, что диагональ A1C параллелепипеда делится этими плоскостями на три равных отрезка, а т.к. отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны, то MN = A1C . Предположим, что есть ещё один отрезок M1N1 , также удовлетворяющий условию задачи ( M1 лежит на AB1 , а N1 – на BC1 ). Тогда M1N1 || MN , поэтому точки M , N , M1 и N1 лежат в одной плоскости. Значит, прямые AB1 и BC1 также лежат в одной плоскости, что невозможно, т.к. они скрещивающиеся.

Ответ

1:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7747