ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 87277
УсловиеВ основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 2 , и SA = SB = SC = . В трёхгранный угол при вершине C вписана сфера S1 . Сфера S2 , радиус которой втрое больше, чем у сферы S1 , касается сферы S1 , плоскостей SAC и ABC . При этом отрезок прямой SB , заключённый внутри сферы S2 , равен . Найдите радиус сферы S2 .РешениеПусть SM – высота данной правильной пирамиды SABC (рис.1), K – середина ребра AC . Тогда M – центр равностороннего треугольника ABC , BK – высота этого треугольника,По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BMS находим, что Обозначим через β угол боковой грани пирамиды с плоскостью основания. Из прямоугольного треугольника KMS находим, что поэтому β = 60o . Центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит в биссекторной плоскости этого угла. Пусть сферы S1 и S2 с центрами O1 и O2 касаются плоскости основания ABC в точках P и Q соответственно, P1 и Q1 – ортогональные проекции точек P и Q на прямую AC , а r и 3r – радиусы сфер (рис.2). Тогда Таким образом, PP1 + PQ = QQ1 . Значит, точки P и Q лежат на перпендикуляре QQ1 к прямой AC , причём точка P лежит между Q и Q1 . Кроме того, поскольку грани ASC и BSC образуют равные углы с плоскостью основания, точка P лежит на биссектрисе угла ACB . Поэтому Проведём сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B , S и K (рис.3). Получим окружность с центром в некоторой точке D , лежащей на биссектрисе угла BSK треугольника BSK , причём сторона BS высекает на этой окружности хорду EF , равную . Если H – ортогональная проекция точки D на плоскость основания ABC , то DH = O2Q = 3r . Расстояние O2D от точки O2 до плоскости сечения равно расстоянию от точки Q до прямой BK , а т.к. QQ1|| BK , то Из прямоугольного треугольника O2DF находим, что При этом r . Пусть G – середина хорды EF . Тогда Кроме того, т.к. r > . Это означает, что точки D и K лежат по разные стороны от прямой SM . Если точка D лежит внутри треугольника BSM ((рис.4), то площадь треугольника BMS равна сумме площадей треугольников BDM , MDS и BDS . В этом случае или После очевидных преобразований получим: Оба найденных корня не удовлетворяют условию 3 - 15r 0 . Если точка D лежит вне треугольника BSM (рис.5) (это может быть только в случае, когда точки D и M лежат по разные стороны от прямой BS ), то или После очевидных преобразований получим: Оба корня удовлетворяют условию задачи. Следовательно, радиус сферы S2 равен или . Ответ; .Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|