ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 87315
УсловиеДана правильная треугольная пирамида SABC ( S – вершина) со стороной основания a и боковым ребром b . Первая сфера с центром в точке O1 касается плоскостей SAB и SAC в точках B и C , а вторая сфера с центром в точке O2 касается плоскостей SAC и SBC в точках A и B . Найдите объём пирамиды SO1BO2 .РешениеПусть плоскость, проходящая через точки B , C и O1 , пересекает боковое ребро AS пирамиды SABC в точке P (рис.1). Прямые O1B и O1C перпендикулярны плоскостям соответственно ASB и ASC как радиусы, проведённые в точки касания сферы с центром O1 с этими плоскостями. Поэтому прямая AS перпендикулярна проведённой плоскости (рис.2). Значит, BP AS и CP AS , а BPC – линейный угол двугранного угла между плоскостями боковых граней ASB и ASC . Положим BPC = 2α , O1B = O1C = R . Тогда O1PB = O1PC = α . Если M – точка пересечения отрезков O1P и BC , то M – середина стороны BC равностороннего треугольника ABC и O1BM = O1PB = α . ПоэтомуАналогично находим, что радиус второй сферы также равен . Рассмотрим сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки A , M и S . Пусть K – центр треугольника ABC . В треугольнике AMS известно, что Поэтому Из прямоугольного треугольника BMP находим, что Поскольку SB O1B и SB O2B , ребро SB – высота треугольной пирамиды SO1BO2 . Основание этой пирамиды – равнобедренный треугольник O1BO2 , боковые стороны которого равны R , а угол между ними равен 180o - 2α , т.к. его стороны соответственно перпендикулярны боковым граням BSC и ASB правильной пирамиды SABC . Следовательно, Ответ.Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|