Задача 87603

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Признаки перпендикулярности ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Из точки M , расположенной внутри двугранного угла, равного ϕ , опущены перпендикуляры на его грани (имеются в виду лучи, выходящие из точки M ). Докажите, что угол между этими перпендикулярами равен 180^o - ϕ .

Решение

Пусть указанные перпендикуляры пересекают грани α и β данного двугранного угла в точках A и B . Через пересекающиеся прямые MA и MB проведём плоскость γ . Пусть эта плоскость пересекает ребро a двугранного угла в точке C . Поскольку прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым MA и MB плоскости γ , прямая a перпендикулярна плоскости γ . Значит, ACB – линейный угол данного двугранного угла. По условию задачи ACB = ϕ . В плоскости γ из точки M , лежащей внутри угла ACB опущены перпендикуляры MA и MB на стороны этого угла. Следовательно,

AMB = 180^o - ACB = 180^o - ϕ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8206