Задача 97763

Темы:    [ Площадь (прочее) ] [ Конус ] [ Векторы (прочее) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Площадь сферы и ее частей ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

Решение

Поместим начала всех векторов в точку O. Окружим каждый вектор конусом с вершиной O и "углом раствора" 45° (вектор направлен по оси этого конуса). Каждый конус высекает на единичной сфере (площадь которой равна 4π) шапочку. Площадь шапочки больше площади её основания – круга радиуса  sin ^π/₈,  то есть больше   π sin² ^π/₈ (1 – cos ^π/₄) > ^4π/₃₀.   Поэтому какие-то две шапочки пересекаются и угол между соответствующими векторами меньше 45°.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1980
выпуск
Номер	12
Задача
Номер	М656
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1980
Номер	1
вариант
Вариант
Задача
Номер	4