|
|
 |
Условие
Многочлен P(x) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2m с натуральным m. Докажите, что этот многочлен – первой степени.
Решение
Пусть степень многочлена P равна n > 1. Случай P(x) = (x + m)n (m натуральное) очевиден: этот многочлен не принимает значения 2. Для других многочленов достаточно доказать существование такого целого m, что при "больших x" (x + m)n < P(x) < (x + m + 1)n (*).
Действительно, пусть (*) выполнено. Найдётся такое x0, что при x ≥ x0 P строго возрастает. Пусть M – наибольшее значение P(x) на отрезке [1, x0]. Возьмём такое k, что 2k > max {M, x0 + |m| + 1}. Тогда P(2k – m – 1) < 2kn < P(2k – m), следовательно, P не принимает значения 2kn при натуральных значениях аргумента.
Докажем (*). Обозначим через a коэффициент при xn–1. Если a не делится нацело на n (например, не является целым), то очевидно, m = [a/n]. Если же
a1 = nk, то рассмотрим многочлен Q(x) = P(x) – (x + k)n ≠ 0. Степень многочлена Q меньше n – 1. Если старший коэффициент многочлена Q положителен, то m = k, если отрицателен, то m = k – 1.
Замечания
баллы: 8
