|
|
 |
Условие
Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что
а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;
б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);
в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.
Решение
Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.
Пусть S(x) – сумма цифр натурального числа x, N(x) – количество его цифр, бóльших 4. Тогда S(2x) = 2S(x) – 9N(x). (*)
Представим, что мы складываем число x само с собой столбиком. Перенос единицы в очередной, (k+1)-й, разряд суммы происходит в том и только том случае, когда в k-м разряде числа x стоит одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то есть число переносов равно N(x). При каждом переносе вместо десятки, которая входит в сумму S(x) + S(x), возникает единица, которая входит в S(2x), то есть S(2x) по сравнению с 2S(x) уменьшается на 9. Отсюда получаем (*).
Теперь легко доказать утверждения задачи.
а) Подставляя в (*) вместо x поочерёдно M и K и учитывая очевидные равенства S(M) = S(K) и N(M) = N(K), получим, что S(2M) = S(2K).
б) Заметим, что цифра i-го разряда числа x больше 4 в том и только в том случае, когда цифра (i+1)-го разряда числа 2x нечётна. Поэтому N(x) равно количеству нечётных цифр в числе 2x. Следовательно, для чисел M и K, составленных из одних и тех же цифр, N(M/2) = N(K/2) и в силу (*)
S(M/2) = ½ (S(M) + 9N(M/2) = ½ (S(K) + 9N(K/2)) = S(K/2).
в) Числа 10M и 10K также отличаются только перестановкой цифр, поэтому согласно пункту б) S(5M) = S(10M/2) = S(10K/2) = S(5K).
Замечания
1. Задача предлагалась в "легком" варианте второго тура, баллы: 4 + 4 + 2 (но за пп. а и б вместе давалось 6 баллов).
2. Пункт в) предлагался также на 49-й Ленинградской математической олимпиаде (1983, 8 кл., зад. 1).
