|
|
 |
Условие
Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол 360°/N (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM0, через секунду – OM1, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM2, ещё через три секунды после этого – OM3, и т. д., ещё через N – 1 секунду после ОМN–2 – OMN–1.
При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся
степенями двойки?
Решение
а) Пусть N = 2m. Разность ½ k(k + 1) – ½ l(l + 1) = ½ (k – l)(k + l + 1) не делится на 2m, поскольку числа k – l и k + l + 1 разной чётности и большее из них не превосходит 2N – 1 < 2m+1. Значит, числа вида ½ k(k + 1), k = 0, 1, ..., N – 1 не сравнимы по модулю N, откуда сразу следует, что круг будет разделён на равные секторы.
б) Пусть N = 2mq, где q нечётно и больше 1. Найдем два числа указанного в а) вида, сравнимые по модулю N.
Если q > 2m, положим k – l = 2m, k + l + 1 = q. Тогда k = ½ (q + 2m – 1) < N, l = ½ (q – 2m – 1) ≥ 0.
Если же q < 2m, положим k – l = q, k + l + 1 = 2m. Тогда k = ½ (2m + q – 1) < N, l = ½ (2m – q – 1) ≥ 0.
Ответ
а) Верно; б) не относятся.
Замечания
баллы: 4 + 4
