Задача 97934
|
|
 |
Условие
p(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых a и b выполняется равенство: p(a) – p(b) = 1.
Докажите, что a и b различаются на 1.
Решение
Так как все коэффициенты многочлена p – целые числа и an – bn при любом натуральном n делится на a – b, то p(a) – p(b) делится на a – b. Тем самым, a – b – делитель единицы, то есть |a – b| = 1.
Замечания
1. Можно также воспользоваться теоремой Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562).
2. 3 балла.
