|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Две прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке K.
Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной около треугольника ABC окружности.
Решение
Композиция симметрий относительно прямых AB и CB переводит прямую AK в прямую CK. Эта композиция есть поворот вокруг точки B на угол, равный удвоенному углу между AB и CB, то есть на угол 2∠B. Но поворот на тот же угол (и в том же направлении) вокруг точки O переводит радиус OA в радиус OC. Значит, он также переводит прямую AK в прямую CK. Это значит, что точки B и O равноудалены от прямых AK и CK, причём лежат на одной биссектрисе угла между ними. Следовательно, точки K, B и O лежат на одной прямой.
Замечания
1. 5 баллов.
2. Обсуждение других решений этой задачи см. в решениях Задачника "Кванта".
3. Задача предлагалась также на 54-й Ленинградской олимпиаде (1988, 8 кл., №1).
