Задача 97997

Темы:    [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Назаров Ф.

Положительные числа a, b, c таковы, что  a ≥ b ≥ c  и  a + b + c ≤ 1.  Докажите, что  a² + 3b² + 5c² ≤ 1.

Решение

1 ≥ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac ≥ a² + b² + c² + 2b² + 2c² + 2c² = a² + 3b² + 5c².

Замечания

1. Ср. с задачей 98007.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1988/1989
Номер	10
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	1