|
|
 |
Условие
Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с
положительными разностями d1, d2, d3, ... . Может ли случиться, что при этом сумма
1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).
Решение
а) Пусть число прогрессий равно k. Докажем, что сумма 1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk равна 1. Пусть M – некоторое (например, наименьшее) общее кратное чисел d1, d2, ..., dk. Рассмотрим любой отрезок из M последовательных натуральных чисел; в нём будет M/di членов i-й прогрессии с разностью di (i = 1, 2, ..., k). Поэтому M/d1 + M/d2 + ... + M/dk = M.
б) Рассмотрим прогрессии 1, 11, ... (d1 = 10); 2, 22, ... (d2 = 20); 3, 43,... (d3 = 40); ... каждый раз d увеличивается вдвое. Если один из членов какой-либо прогрессии встретился в предыдущих, то и все остальные её члены также встречались. Такие прогрессии вычеркнем. Оставшееся множество прогрессий, содержит все натуральные числа, ровно по одному разу, а 1/d1 + 1/d2 + 1/d3 + ... < 1/10 + 1/20 + 1/40 + ... = 0,2.
Ответ
а) Не может; б) может.
Замечания
баллы: 2 + 3
