Условие
Сколько существует таких пар натуральных чисел (m, n), каждое из которых не превышает 1000, что 
Решение
Рассмотрим все пары (m, n) натуральных чисел, для которых m + n + 1 = s ≥ 3. Имеем 
Поскольку s > 2 > 
> ½ > 1/s, а число иррационально, оно попадает ровно в один из указанных интервалов. Таким образом, среди пар (m, n) с фиксированным значением s найдётся ровно одна, для которой выполняются указанные в условии неравенства. При этом точка пересечения 
прямых y = x и y + x = s попадает в квадрат с вершинами (m, n), (m + 1, n), (m, n + 1), (m + 1, n + 1). Нас интересуют пары (m, n), у которых оба числа не превосходят 1000, то есть должны выполняться неравенства 
Отсюда 
Всего таких значений s, а значит, и пар 1706.
Ответ
1706 пар.
Замечания
1. Задача предлагалась также на Ленинградской математической олимпиаде (1990, 8 кл., №6).
2. 10 баллов.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
Турнир |
|
Дата |
1989/1990 |
|
Номер |
11 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, основной вариант, 8-9 класс |
|
Задача |
|
Номер |
5 |
