Задача 98137
|
|
 |
Условие
Докажите, что произведение всех целых чисел от 21917 + 1 до 21991 – 1 включительно не есть квадрат целого числа.
Решение 1
Разобьём числа от 1 до 2n на пары вида {a, 2n – a} (без пары останутся числа 2n и 2n–1). Ясно, что в каждой паре оба числа делятся на одинаковую степень двойки. Следовательно, в разложение числа (2n)! двойка входит в нечётной степени. Произведение из условия равно значит, двойка входит в его разложение в нечётной степени.
Решение 2
Согласно постулату Бертрана (см. решение задачи 73658) в интервале между 21990 и 21991 лежит некоторое простое число p. Так как 2p > 21991, то произведение из условия делится на p, но не делится на p2.
Замечания
6 баллов
