Задача 98149
|
|
 |
Условие
Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что P – Q, P и P + Q – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?
Решение
Например, P = (x² + 1)², Q = 4x³ – 4x. Тогда P + Q = (x² + 1)² + 4x(x² – 1) = (x² – 1)² + 4x(x² – 1) + 4x² = (x² – 1 + 2x)²; аналогично P – Q = (x² – 1 – 2x)².
Ответ
Можно.Замечания
1. Положим P = S², P – Q = R², P + Q = T². Тогда 2S² = 2P = R² + T². Если S² = U² + V<², то 2S² = (U + V)² + (U – V)². Заметим, что
(x² + 1)² = (x² – 1)² + (2x)², поэтому можно взять S = x² + 1, U = x² – 1, V = 2x. Это и даёт указанный пример.
2. 5 баллов.
