|
|
 |
Условие
Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.
Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.
Решение
Пусть a6 + b6 + c6 + d6 + e6 + f 6 = 6abcdef + 1.
Согласно задаче 61005 г) x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz). Отсюда
1 = a6 + b6 + c6 + d6 + e6 + f 6 – 6abcdef = (a6 + b6 + c6 – 3a2b2c2) + (d6 + e6 + f 6 – 3d6e6f 6) + 3(a2b2c2 + d2e2f 2 – 2abcdef) =
= (a2 + b2 + c2)(a4 + b4 + c4 – a2b2 – a2c2 – b2c2) + (d2 + e2 + f 2)(d4 + e4 + f 4 – d2e2 – d2f 2 – e2f 2) + 3(abc – def)2.
Все три слагаемых в правой части неотрицательны (см. задачу 30865). Поэтому два из них равны нулю, а одно – единице. Пусть единице равно первое слагаемое. Тогда a2 + b2 + c2 = 1, а d2 + e2 + f 2 = 0. Значит, одно из чисел a, b, c равно 1, а остальные пять чисел равны нулю.
Если единице равно второе слагаемое, ситуация аналогична. Третье слагаемое равняться единице не может.
Замечания
6 баллов
