Задача 98264

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Рубин А.

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

 

Решение

Рассмотрим сферу с уравнением  (x – )² + y² + z² = 2.  Точка O с координатами  (0, 0, 0)  – рациональная точка, лежащая на этой сфере. Допустим что на сфере есть другая рациональная точка  (x, y, z).  x ≠ 0,  так как при  x = 0  имеется единственное решение  (0, 0, 0).  Раскроем скобки:
x² – 2x + 2 + y² + z² = 2  или     Противоречие.

Ответ

Существует.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	16
Дата	1994/1995
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1