Задача 98320

Темы:    [ Разные задачи на разрезания ] [ Подсчет двумя способами ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

Решение

а) Сторона квадрата сложена из отрезков длины 3, 4, 5, поэтому её длина a – целое число. Площадь треугольника равна 6, следовательно, число треугольников  k = ^a²/₆.  Отсюда a чётно, a² делится на 4 и k чётно.

б) Периметр каждого треугольника равен  3 + . Подсчитаем сумму периметров всех треугольников двумя способами. Во-первых, она равна  k(3 + ),  где k – число треугольников. Во-вторых, каждая сторона треугольника лежит либо на стороне прямоугольника, либо на одном из разрезов. Так как к каждому разрезу треугольники приставлены с двух сторон, то сумма периметров всех треугольников равна периметру прямоугольника плюс удвоенная сумма длин разрезов. Длина каждого разреза и длины сторон прямоугольника имеют вид  p + q,  где p и q – целые. Отсюда  k(3 + ) = 2m + 2n  (m, n целые). Значит,  3k = 2m  и k чётно.

Замечания

баллы: 2 + 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4