Задача 98446
|
|
 |
Условие
На плоскости проведено n прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все n, при которых это возможно.
Решение
Разобьём все проведённые прямые на группы параллельных между собой. Пусть таких групп k. Ясно, что в каждой группе n – 1999 прямых. Поэтому
n = k(n – 1999), то есть 1999k = n(k – 1). Так как числа k и k – 1 взаимно просты, то 1999 (а это число простое) делится на k – 1. Значит, k – 1 = 1999 или k – 1 = 1. Соответственно n = 2000 или 3998.
Ответ
2000 или 3998.
Замечания
1. 4 балла.
2. Ср. с задачей 98451.
