|
|
 |
Условие
а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.
б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно
разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?
Решение
а) Покрасим все гирьки на одной чашке в красный, а на на другой – в синий цвет и выложим их в ряд по возрастанию весов. Этот ряд разбивается на отрезки подряд идущих гирек одного цвета. Можно считать, что первый отрезок красный. Пары соседних гирек на стыках цветов назовем соответственно красно-синими и сине-красными. Достаточно найти непересекающиеся красно-синюю и сине-красную пару: входящие в них гирьки каждого цвета в сумме, очевидно, весят одинаково.
Разберём несколько случаев.
2) Есть не менее пяти отрезков. Тогда красно-синяя пара на стыке первого отрезка со вторым не пересекается с сине-красной парой на стыке четвёртого отрезка с пятым.
Докажем, что во всех остальных случаях равновесие невозможно.
3) Отрезков всего два. Тогда вес всех красных гирек 1 + 2 + ... + k = ½ k(k + 1) (k – число гирек в первом отрезке) должен равняться половине веса всех гирек, то есть k(k + 1) = 50·101. Но это невозможно: 101 – простое число, а оба множителя в левой части меньше 101.
4) Отрезков три, причём средний состоит из одной гирьки. Эта единственная синяя гирька, очевидно, не уравновешивает остальные красные.
5) Отрезков четыре, причём оба средних состоят из одной гирьки. Тогда вес всех красных гирек равен 1 + 2 + ... + k + (k + 2). Аналогично случаю 3)
2(½ k(k + 1) + (k + 2)) = 50·101, то есть k(k + 3) = 5046 = 3·1682. 1682 не делится на 3, а k(k + 3) либо не делится на 3, либо делится на 9. Снова противоречие.
б) Контрпример. При n = 20 можно на одну чашу положить гирьки от веса от 1 до 14 г, а на другую – все остальные: 1 + ... + 14 = 15 + ... + 20 = 210. Каждая гирька с первой чаши весит меньше любой гирьки с другой, поэтому убрать по две гирьки, сохранив равновесие, нельзя.
Ответ
б) Неверно.
Замечания
баллы: 4 + 4
