|
|
 |
Условие
а) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать восемь чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких девяти из выписанных на доске чисел.
б) На доске выписано 100 целых чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.
Решение
а) Рассмотрим восемь наименьших чисел. Добавив к ним девятое число, мы увеличим среднее арифметическое. Таким образом, среднее арифметическое восьми наименьших чисел меньше среднего арифметического девяти наименьших чисел (и, тем более, среднего арифметического любых других девяти чисел).
б) Рассмотрим наименьшие девять чисел. Заметим, что они равны. Действительно, в противном случае девятое по величине число больше среднего арифметического наименьших восьми чисел и это среднее арифметическое (как и в пункте а) не может равняться среднему арифметическому никаких девяти чисел.
Вычтем из всех чисел наименьшее. Для полученной системы чисел (где наименьшие девять чисел равны нулю) условия задачи также выполнены.
Предположим, что не все полученные числа равны нулю. Разделим все числа на наибольший общий делитель всех 100 чисел. Условия задачи выполнены и для полученной системы чисел (наибольший общий делитель которых теперь равен 1).
Докажем в противоречие с этим, что все числа делятся на 8. Рассмотрим любое отличное от нуля число a. Присоединив к нему семь нулей (семь первых чисел), получим группу чисел со средним арифметическим a/8. По условию, найдутся такие целые числа b1, ..., b9, что a/8 = 1/9 (b1 + ... + b9). Число
9a = 8(b1 + ... + b9) делится на 8. Значит, и a делится на 8.
Замечания
1. Докажем, что утверждение б) верно для произвольных чисел – не обязательно целых.
Сначала рассмотрим случай, когда все числа рациональны. Умножив их все на общий знаменатель, получим набор целых чисел, удовлетворяющий условию задачи. Значит, все эти числа равны, поэтому и исходные числа равны.
Пусть теперь имеется произвольный набор чисел a1, ..., an, удовлетворяющих условию. Запишем все выполняющиеся по условию равенства средних и заменим в них каждое число ai на неизвестное xi. Получим однородную систему линейных уравнений с n неизвестными и рациональными коэффициентами. Всякое её решение удовлетворяет условиям задачи. Система имеет много решений: подходит, например, любой набор из равных чисел.
Упростим систему равносильными преобразованиями. Первое уравнение даёт возможность представить одно из неизвестных в виде линейной комбинации остальных. Подставим это выражение в остальные уравнения (при этом некоторые могут стать тождествами). Повторим процедуру и так до тех пор, пока уравнений не останется. В итоге останутся k неизвестных, чьи значения можно задавать свободно, а остальные являются их линейными комбинациями с рациональными коэффициентами (поскольку они получены арифметическими действиями из рациональных дробей).
В нашем случае ясно, что k > 0, иначе решение было бы единственным.
Если k = 1, то по тем же причинам система обязана иметь вид: x1 = x2 = ... = xn. Набор a1, ..., an также системе удовлетворяет, поэтому и все числа в наборе равны.
Допустим, k > 1. Тогда можно придать свободным неизвестным рациональные значения так, что в полученном наборе рациональных чисел не все будут равны, что противоречит доказанному выше.
2. Баллы: 2 + 4.
