Условие
Между двумя параллельными прямыми расположили окружность радиуса 1, касающуюся обеих прямых, и равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной из прямых, а вершина – на другой. Известно, что треугольник и окружность имеют ровно одну общую точку и что эта точка лежит на вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.
Решение 1
Пусть окружность Ω радиуса 1 c центром O касается данных прямых в точках L и M и боковой стороны AB треугольника ABC в точке K (рис. слева). По условию вписанная в треугольник окружность с центром I касается стороны AB также в точке K, а основания AC – в его середине H. Проведём прямую OA до её пересечения с высотой BH треугольника ABC в точке P.
AM = AK = AH, поэтому прямоугольные треугольники AMO и AHP равны. Следовательно, A – середина отрезка OP. AI ⊥ AO, поскольку биссектрисы смежных углов MAB и CAB перпендикулярны, а центр окружности лежит на биссектрисе угла между касательными, проведёнными к ней из одной точки. Аналогично OB ⊥ AO. Значит, AI || OB, то есть AI – средняя линия треугольника BPO. Отсюда K – точка пересечения медиан треугольника BPO, и
IK = ½ OK = ½.
Решение 2
Рассмотрим гомотетию с центром в точке K, переводящую Ω во вписанную окружность ω треугольника ABC (рис. справа). При этом касательная LB к Ω переходит в параллельную ей касательную к ω, то есть в прямую AC. Следовательно, точка L переходит в точку H, а точка B – в точку A. Но
AM = AK = AH, откуда AH = ½ MH = ½ BL (MLBH, очевидно, прямоугольник), поэтому коэффициент гомотетии равен ½. Значит, и радиус ω равен ½.
Ответ
½.
Замечания
3 балла
