Задача 98526

Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Вялый М.Н.

В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.

Решение

  Пусть  а₁ ≥ а₂ ≥ а₃ ≥ ... ≥ а_n  – числа двоек, полученных отдельными учениками. Из условия следует, что в группе из пяти человек главный двоечник получил двоек минимум вчетверо больше остальных, то есть  а_k ≥ 4(а_k+1 + а_k+2 + а_k+3 + а_k+4).    (*)
  А утверждение задачи равносильно тому, что самый главный двоечник получил двоек втрое больше остальных вместе взятых.

  Первый способ. Из неравенства (*) следует, что  а_k > 3(а_k+1 + а_k+2 + а_k+3 + а_k+4) + а_k+1.  Отсюда
а₁ > 3(а₂ + ... + а₅) + а₂ > 3(а₂ + ... + а₅) + 3(а₃ + ... + а₆) + а₃ > 3(а₂ + ... + а₆) + а₃ > 3(а₂ + ... + а₇) + а₄ > ... > 3(а₂ + ... + а_n) + a_n–3 > 3(а₂ + ... + а_n).

  Второй способ.  а_k ≥ 4(а_k+1 + а_k+2 + а_k+3 + a_k+4) ≥ 16а_k+4.  Отсюда
а₂ + а₃ + ... + а_n = (а₂ + а₃ + а₄ + а₅) + (а₆ + а₇ + а₈ + а₉) + ... ≤ (а₂ + а₃ + а₄ + а₅)(1 + ¹/₁₆ + ¹/_{16² + ...) = ¹⁶/15 (а2 + а3 + а4 + а5) ≤ ⁴/15 а1 < ⅓ а1.}

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2