Задача 98538

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Соображения непрерывности ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например,  1001! + 2,  1001! + 3, ...,   1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?

Решение

Обозначим через P_n количество простых чисел среди тысячи последовательных чисел от n до  n + 999.  Заметим, что P_n+1 отличается от P_n не более чем на единицу. Но  P₁ > 5,  a  P_{1001! + 2} = 0 < 5,  поэтому при изменении n от 1 до  1001! + 2  значение P_n при каком-то n будет равно 5.

Ответ

Существуют.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2