|
|
 |
Условие
Пусть F1, F2, F3, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где Fk+1 (при k = 1, 2, 3, ...) получается так: Fk разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)
Решение
Пусть ABCD – исходный четырёхугольник F1. Можно считать, что каждый раз переворачивается половинка четырёхугольника, содержащая сторону CD, а сторона AB остается неподвижной. При этом сумма угла A и противолежащего ему угла не меняется. Кроме того, не меняется набор длин сторон. Но три величины (длины сторон, отличных от AB) могут быть упорядочены только шестью способами.
Докажем, что если у двух полученных четырёхугольников ABKL и ABMN длины сторон упорядочены одинаково (BK = BM, KL = MN, LA = NA), то четырёхугольники равны. Достаточно доказать равенство диагоналей AK и AM. Предположив, что, скажем, AK > AM, получим ∠ABK > ∠ABM,
∠ALK > ∠ANM, что противоречит равенству сумм ∠ABK + ∠ALK и ∠ABM + ∠ANM.
Шесть различных четырёхугольников получатся из любого четырёхугольника, у которого все стороны различны, суммы противоположных углов тоже разные, и который при преобразованиях остается выпуклым и не вырождается в треугольник. При этом подозрительными на равенство могут быть только четырёхугольники с обратным порядком сторон, но и они не равны, поскольку при переворачивании одного из них не сойдутся суммы противоположных углов. Выделенное условие выполняется, например, для четырёхугольников, чья площадь больше полупроизведения двух самых длинных сторон: это неравенство, очевидно, не имеет места для невыпуклых и вырожденных четырёхугольников. Конкретный пример: прямоугольная трапеция c основаниями 3 и 6 и высотой 4.
Ответ
6 четырёхугольников.
Замечания
6 баллов
