Задача 98562
|
|
 |
Условие
Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.
Решение
Заметим, что если оставить треугольник A'B'C' на месте, а треугольник ABC сдвинуть на некоторый вектор a, то середины отрезков AA', BB' и CC' сдвинутся на ½ a. Поэтому мы можем без потери общности точку A совместить с A'. Но в этом случае биссектрисы углов BAB' и CAC', очевидно, совпадают, и середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на этой общей биссектрисе.
Замечания
1. Утверждение немедленно следует из задачи 57905.
2. 5 баллов.
