Задача 98579

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Сендеров В.А., Спивак А.В.

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что  a > 1,  b > 1,  и  [a^m]  отлично от  [bⁿ]  при любых натуральных числах m и n?

Решение

  Первый пример.     Заметим, что  x³ – y³ > x² – y²  при  x > y > 1.  Поэтому     (последнее неравенство следует из разной чётности чисел 3^m и 2ⁿ). Отсюда, очевидно, следует утверждение задачи.

  Второй пример.     Положим     Из формулы бинома следует, что число     целое и не кратно 3 (члены, содержащие нечётную степень    сокращаются; все слагаемые, кроме 2^m, кратны 3).
  В то же время число  B = bⁿ + dⁿ = 3ⁿ(aⁿ + cⁿ)  также целое и кратно 3.
  Но  0 < c < d < 1,  поэтому  [a^m] = A – 1 ≠ B – 1 = [bⁿ].

Ответ

Существуют.

Замечания

1. Несложно придумать нужную пару чисел, если не требовать их иррациональности. На самом деле требование иррациональности не принципиально, оно лишь создает некоторые технические трудности. Приведённые решения иллюстрируют два способа преодоления этих трудностей.

2. 8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	7