Задача 98588

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Колосов В.

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство  

Решение

  Несложно преобразовать исходное неравенство к равносильному:   (x – y)(cos x – cos y) + (x – z)(cos x – cos z) +(y – z)(cos y – cos z) ≤ 0.
  Последнее верно, поскольку в силу убывания косинуса каждое из трёх слагаемых неположительно.

Замечания

1. Для знатоков. Доказываемое неравенство – частный случай неравенства Чебышёва (см. задачу 61386) при  n = 3,  x₁ = x,  x₂ = y,  x₃ = z,  y₁ = – cos x,
y₂ = – cos y,  y₃ = – cos z.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4