Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1966 год
>>
8 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Решение
Взяли все $100$-значные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра – какая-то из цифр $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$. Сколько из этих чисел делятся на $2^{100}$?
Решение
Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$. Решение
Убрать все задачи
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
РешениеВзяли все $100$-значные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра – какая-то из цифр $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$. Сколько из этих чисел делятся на $2^{100}$?
РешениеДан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 4]
Разделить циркулем и линейкой отрезок на 6 равных частей, проведя не более 8
линий (прямых, окружностей).
Дано:
$$ a_1=1,a_k=\left[\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}\right].$$
Найти $a_{1000}$.
Сеть метро имеет на каждой линии не менее 4 станций, из них не более трёх
пересадочных. Ни на какой пересадочной станции не скрещиваются более двух
линий. Какое наибольшее число линий может иметь такая сеть, если с каждой
станции на любую другую можно попасть, сделав не больше двух пересадок?
Страница: 1 [Всего задач: 4]
Задача 78593 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 78594 (#2) |
|
|
Примечание. $\left[A\right]$ — целая часть $A$.
|
|
|
Решение |
Задача 78595 (#3) |
|
|
а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.
б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,
а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.
|
|
|
Решение |
Задача 78596 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 4]
